合同矩阵怎么求

合同矩阵是指两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵C，使得$A = C^T B C$，则称A与B合同。求合同矩阵通常有以下几种方法：

1. 通过给定的方阵求合同矩阵 ：

如果两个元素在原方阵中的行和列相同，则合同矩阵对应位置的元素为0。

如果两个元素在原方阵中的行相同但列不同，或者行不同但列相同，则合同矩阵对应位置的元素为原方阵中对应位置的元素的相反数。

2. 通过给定的行列数求合同矩阵 ：

首先，需要给定合同矩阵的行数和列数。

对于任意的i不等于j，合同矩阵的第i行第j列的元素为1。

3. 使用特征值分解 ：

对给定的实对称矩阵A进行舒尔分解，得到$A = Q^T B Q$，其中Q是正交矩阵，B是上三角矩阵。

令$C = B^T$，则C与A合同。

4. 通过相似变换 ：

合同矩阵具有相同的特征值和特征向量，但不一定具有相同的特征向量。

5. 通过二次型理论 ：

对于任一实系数n元二次型$X\'AX$，要化为标准型，实际上就是要找一个可逆变换$X = CY$，将它化为$Y\'BY$的形式，其中B为对角阵。

6. 通过配方法、初等变换法和正交变换法 ：

配方法是通过将含$x_i$的项集中，按$x_i$配成完全平方，直至都配成平方项。

初等变换法是通过初等行变换或初等列变换将系数矩阵化为行阶梯形或行最简形。

正交变换法是通过正交变换将系数矩阵化为对角形。

以上方法中，特征值分解和相似变换是较为常用的方法，因为它们能够直接利用矩阵的特征值和特征向量来找到合同矩阵。

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